Er lebte in seiner eigenen Welt,
die der Mathematik,
sie bot ihm Schutz.
bubbles sind definiert durch das Integral über dem Integral über dem Integral dx dy dz = Volumen a.
das ergibt die Gleichung: div(∇u / √(1 + |∇u|²)) = λ
oder ausgeschrieben: divergenz(Gradient (u) / √(1 + ∂u/∂x)² + (∂u/∂y)²)) = Lagrange-Multiplikator = konstante mittlere Krümmung
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Volumenerhaltende mittlere Krümmungsfluss (Volume-Preserving Mean Curvature Flow)
Die Grundidee:
– Die Oberfläche entwickelt sich entlang ihrer mittleren Krümmung,
– aber mit einem Korrekturterm, der das Gesamtvolumen konstant hält.
Die Gleichung lautet:
∂X/∂t = (H – H̄) · N
Dabei ist:
– X(t) die Position der Oberfläche im Raum (abhängig von der Zeit t),
– H die mittlere Krümmung an einem Punkt der Oberfläche,
– H̄ der Flächenmittelwert der mittleren Krümmung (damit Volumen erhalten bleibt),
– N die äußere Normale der Fläche.
Was bewirkt das?
– Die Fläche wird glatter (Kräuselungen verschwinden),
– das Volumen bleibt konstant,
– die Form strebt langfristig zur Kugel (minimaler Oberflächeninhalt bei gegebenem Volumen).
Diese Gleichung ist Grundlage in Materialwissenschaft, Geometrie und bei der Simulation von Seifenblasen oder biologischen Membranen.